数学的困难在于，我们甚至不知道一个简单的流体方程是否有解

埃菲尔在1889年建造著名的埃菲尔铁塔时，挑选了72位19世纪的法国著名科学家，并将他们的名字刻在塔上，以示崇敬最引人注目的是拉格朗日，拉普拉斯和勒让德你也会找到纳维的名字纳维德是当时著名的工程师，曾跟随大数学家傅立叶学习过一段时间1820年左右，纳维德开始思考与流体相关的数学从1821年到1822年，他发现了著名的纳维尔—斯托克斯方程

18世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔·伯努利用微积分描述了流体在多种力作用下的运动方程欧拉在伯努利的基础上，构造了一组能精确描述无粘流体运动的方程组

1822年，纳维德改进了欧拉方程，使其适用于具有一定粘度的流体纳维尔的数学推导有缺陷但是他最后的等式是正确的几年后，爱尔兰数学家斯托克斯作出了正确的推导一开始，斯托克斯侧重于用微积分来解释流体的运动他发现了纳维德20年前提出的公式

基于纳维德和斯托克斯的工作，到19世纪末，数学家们即将发展出一套完整的流体运动理论只有一个问题有待解决没有人能证明纳维尔—斯托克斯方程是否有解关于流体运动的数学似乎极其困难

从离散到连续

当16世纪和17世纪初的数学家们试图写出描述行星运动的公式时，他们遇到了一个基本问题数学工具本质上是静态的数字，点，线等对于计算和测量是极好的，但是它们本身不能描述运动为了研究连续运动的物体，数学家必须找到一种方法，将这些静态工具应用于动态运动17世纪中叶，德国的牛顿和莱布尼茨自己发明了微积分，使数学向前迈进了一大步

牛顿和莱布尼茨认为连续运动是由一系列静止形式组成的每个静态形式都可以用现有的数学技巧来分析，但难点在于如何将所有的静态形式结合起来要在数学上形成一个连续的运动，牛顿和莱布尼茨必须以无限的速度展示这些静态形式，而每种形式只能持续无限短的时间微积分是由牛顿和莱布尼茨开发的一套技能，用于执行将无限形式按顺序排列的工作

微分学的基本运算是一个叫做微分的过程微分的目的是获得某些变量的变化率为了做到这一点，变量的值，位置或路径必须由适当的公式给出然后对这个公式求导，产生另一个可以给出变化率的公式所以，微分就是把一个公式转换成另一个公式的过程

在十八世纪，微积分被用来研究像行星这样的固体物体的连续运动，或者连续几何图形的连续变化的斜率伯努利试图将这种方法应用于流体的连续运动

对于牛顿和莱布尼茨来说，分析的连续运动是孤立的，离散的物体的连续运动可是，在流体的情况下，不仅运动是连续的，物质本身也是连续的

伯努利认为连续流体是由无限小的相互靠近的离散区域组成的，每个区域都可以由牛顿和莱布尼茨来处理另一种方法是将流体中的任意一个特定点作为一个物体，写出描述其路径的方程这就需要抓住两种无穷小

把每个无穷小质点的运动看成一系列定格，这是用来研究单个物体连续运动的标准微积分方法运动被看作是由一系列静态在时间上的排列而形成的序列

在一个点所走的路径和另一个无限靠近它的点所走的路径之间有一个无穷小的几何变化。

棘手的问题是同时掌握这两种无穷小——时间无穷小和几何无穷小伯努利成年后的大部分时间1738年，在他的《流体动力学》一书中，他发表了他的结果关键思想是把解作为所谓的向量场简单来说，向量场就是一个有三个自变量x，y，z的函数，它告诉你流体在任一点的流速和方向

流体动力学中有一个方程，表明当流体流过一个表面时，流体对表面施加的压力伴随着流速的增大而减小为什么这个结论值得一提因为伯努利方程奠定了现代航空理论的基础，解释了飞机为什么能在空中飞行

在伯努利工作的基础上，欧拉建立了描述无摩擦流体在已知力作用下运动的方程，但他未能求解这些方程纳维德和斯托克斯后来改进了欧拉方程，使之适用于粘性流体他们得到的方程叫做纳维尔—斯托克斯方程

虽然这些方程在假设的二维无限薄平板膜流体情况下可以求解，但人们不知道在三维情况下是否有解请注意，问题的关键不在于这个方程的解是什么，而在于这个方程是否有解

先说流体运动的欧拉方程这个方程组描述了在所有方向上无限延伸的无摩擦流体的流动

我们假设流体中的每一点P =都受到一个时变力的作用。假设t时刻作用在p点上的力是，

p是时间T点p处的流体压力..

流体在P点的运动可以通过给出它在三个坐标轴方向上的速度来描述设u_x是流体在点P沿X轴的速度，u_y是流体在点P沿Y轴的速度，u_z是沿Z轴的速度

我们假设这种流体是不可压缩的，即当有一个力作用在它上面时，它可以向某个方向流动，但不能被压缩或膨胀。这种特性由下面的等式表示，

假设我们知道t =0时的运动状态此外，这些初始函数被假定为好函数

良好状态是一个数学术语，但不影响对方程的理解而良好状态的精确表述，则与纳维尔—斯托克斯问题作为千年难题的表述有关所以想解决这个问题的人还是要知道它的准确说法

将牛顿定律应用于流体中的每一点P

力=质量×加速度

欧拉得到了下面的方程，通过将它们与上面的不可压缩性方程相结合，描述了流体的运动:

这是流体运动的欧拉方程为了适用于粘性流体，纳维尔—斯托克斯引入了一个粘性常数V，它是流体内摩擦的量度，并在方程的右边增加了一个附加力——粘性力

在x方向，等式右边增加的项是，

y和z方向是相同的。

这里，这个符号

表示二阶偏导数，它是通过首先对x求导u_x，然后对x求导得到的结果，即

在Y和Z的情况下，它们的定义是相似的。

欧拉方程看起来很吓人数学家也感到不知所措仔细观察发现，欧拉方程在X，Y，Z三个方向差别不大，三个附加粘性项的加入也是基于相同的变化形式

19世纪，数学家发明了一种符号和方法，以简单的方式处理定向运动这个想法是引入一种新的量，叫做矢量向量既有大小又有方向

这里，f和u是向量函数，符号

表示向量微积分的运算。

求解纳维尔—斯托克斯方程的进展如此之小，以至于粘土促进会决定设立100万美元的奖金，来询问这个问题的任何变体。用最简单的形式，如果你使力函数f_x，f_y，f_z都为零，你能找到函数p，u_x，u_y和u _

我想提一下，类似的零粘度问题也没有解决。

如果纳维尔—斯托克斯问题简化为二维情况，这个方程可以求解但是它对解决三维情况没有任何作用

完全的三维问题也可以用高度受限的方式解决给定各种初始条件，总能找到一个正数T，使得这个方程对于0≤t≤T一直可解一般来说，t这个数字太小，所以这个方案在现实中并不是特别有用t被称为这个特定系统的爆发时间